电子自旋
斯特恩-格拉赫实验
斯特恩格拉赫实验是一个经典的量子力学实验,目的是为了证明电子的角动量具有空间量子化的特性.
按照自然的想法,电子在核外绕核运动,会产生一个垂直于运动平面的磁矩,磁矩与外界磁场发生作用会使得原子的运动发生偏转,如果电子的轨道角动量在空间上的取向不是任意的而是离散的,那么偏转过后轰击到屏幕上就应该会产生好几条条带:
其中一个实验采用了银原子,银原子的电子构型是\(4d^{10}5s^1\),实验结果产生了两个不同的条带,按照量子理论,银原子的轨道内层被全部填满,内层电子的取向相互抵消,总轨道角动量为0,而外层的1个电子占据5s轨道,其角量子数为0,角动量也为0.按照实验结果,角量子数应该满足\(2l+1=2\)即\(l=\frac{1}{2}\),固有的量子理论无法解释为什么角量子数的取值不是整数,也无法解释为什么会有角动量的产生.
后来,随着量子理论的发展,人们逐渐意识到斯特恩-格拉赫实验揭示的是更为本征的物理性质-电子自旋,即电子具有类似角动量的内禀属性,就好像他在旋转一样.
自旋算子
类比角动量算子,定义\(\hat{S_z}\)为自旋角动量在z轴方向分量大小的算子,根据上述实验结果不难发现,电子自旋的取值只有两个方向:即所谓"向上"和"向下"
于是就会有本征方程:
\[ \begin{aligned} \hat{S_z}|\alpha\rangle=\frac{\hbar}{2}|\alpha\rangle\\ \hat{S_z}|\beta\rangle=-\frac{\hbar}{2}|\beta\rangle \end{aligned} \]
其中\(\alpha,\beta\)等是本征波函数,分别对应两种自旋状态.
经过实验发现,两个正交方向的自旋角动量是不对易的,即他们之间不能贡献本征态,一个本征态的确定就要抹杀掉另一个本征态,其对易关系满足:
\[ [S_x,S_z]=i\hbar S_y \]
这与角动量的对易关系几乎一致,进一步验证了自旋角动量和角动量的相似属性.
但是,自旋角动量的大小与自旋角动量在某个方向上的分量是对易的,这也和角动量是类似的:
\[ [S^2,S_x]=0 \]
也就是说,我们无法确切的知道自旋角动量在空间中的具体方向,但是我们可以知道其大小.
根据斯特恩-格拉赫实验的结果,模仿角量子数的定义,我们定义电子的自旋量子数为\(\frac{1}{2}\),于是,自旋磁量子数相应就是\(\pm \frac{1}{2}\),所以自旋波函数矢量也可以表示为:
\[ \begin{cases} |\alpha\rangle=|\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle, & \\|\beta\rangle=|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle , & \end{cases} \]
Pauling 矩阵
我们已经知道了两种自旋波函数的具体形式,可以用自旋量子数和自旋磁量子数表示,但是自旋角动量的算符的具体形式尚不明朗,目前已知信息为本征方程:
\[ S_{z} |\alpha\rangle = \frac{\hbar}{2} |\alpha\rangle \]
另一个自旋向下的只要加一个负号换个波函数.上面的本征方程是基于z方向定义,那么x和y方向我们还是无从下手,只知道有类似的形式,其本征函数我们也是不好直接写出来.
首先先考虑z方向分量的算符,不难发现,其所有本征函数构成一组完备基,所以实际的总自旋波函数满足线性叠加:
\[ |\psi\rangle=c_1|\alpha\rangle+c_2|\beta\rangle=\begin{pmatrix} c_1\\ c_2 \end{pmatrix} \]
关于Sz,其各个元素为:
\[ \begin{aligned} S_{z\alpha\alpha}=\langle\alpha|\hat{S_z}|\alpha\rangle=\frac{\hbar}{2} \\ S_{z\alpha\beta}=\langle\alpha|\hat{S_z}|\beta\rangle=0\\ S_{z\alpha\alpha}=\langle\beta|\hat{S_z}|\alpha\rangle=0\\ S_{z\alpha\alpha}=\langle\beta|\hat{S_z}|\beta\rangle=-\frac{\hbar}{2} \end{aligned} \]
所以其算符矩阵为:
\[ \hat{S_z}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1,0\\ 0,-1 \end{pmatrix} \]
至于想要得到x和y方向上的算符矩阵,需要借助对易关系构建一个新的算符,对易关系为:
\[ \begin{aligned} [\hat{S_x},\hat{S_y}]=i\hbar \hat{S_z}\\ [\hat{S_y},\hat{S_z}]=i\hbar \hat{S_x}\\ [\hat{S_z},\hat{S_x}]=i\hbar \hat{S_y}\\ \end{aligned} \]
构建的新算子为:
\[ \begin{cases} \hat{S_+}=\hat{S_x}+i \hat{S_y}, & \\ \hat{S_-}=\hat{S_x}-i \hat{S_y} , & \end{cases} \]
考虑:
\[ \begin{aligned} \hat{S_z} \hat{S_+} |\beta\rangle=\hat{S_z}(\hat{S_x}+i \hat{S_y}) |\beta\rangle &=(i\hbar \hat{S_y}+\hat{S_x} \hat{S_z}+i(\hat{S_y} \hat{S_z}-i\hbar \hat{S_x}))|\beta\rangle\\ &=(\hat{S_x} \hat{S_z}+i \hat{S_y} \hat{S_z}+\hbar (\hat{S_x}+i \hat{S_y}))|\beta\rangle\\ &=(\hat{S_x} (-\frac{\hbar}{2})+i \hat{S_y} (-\frac{\hbar}{2})+\hbar (\hat{S_x}+i \hat{S_y}))|\beta\rangle\\ &=\frac{\hbar}{2}(\hat{S_x}+i\hat{S_y})|\beta\rangle=\frac{\hbar}{2}\hat{S_+}|\beta\rangle \\ \end{aligned} \]
所以可以得知:
\[ \hat{S_+}|\beta\rangle\propto |\alpha\rangle \]
量子力学中给出了比例系数及其相关证明,最终得到总体形势如下所示:
\[ \begin{cases} \hat{S_+}|s,m_s\rangle={\hbar}|s,m_s+1\rangle, & \\\hat{S_-}|s,m_s\rangle={\hbar}|s,m_s-1\rangle , & \end{cases} \]
角量子数超过正负二分之一的,统统认为其本征函数为0
据此可以写出+-算符的矩阵表达:
\[ \begin{aligned} \hat{S_+}={\hbar}\begin{pmatrix} 0,1\\ 0,0 \end{pmatrix} \\ \hat{S_-}={\hbar}\begin{pmatrix} 0,0\\ 1,0 \end{pmatrix} \\ \end{aligned} \]
所以可以解出x和y方向自旋角动量分量算符对应的矩阵:
\[ \begin{aligned} \hat{S_x}=\frac{\hat{S_+}+\hat{S_-}}{2}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0,1\\ 1,0 \end{pmatrix} \\ \hat{S_y}=\frac{\hat{S_+}-\hat{S_-}}{2i}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0,-i\\ i,0 \end{pmatrix} \end{aligned} \]
于是我们就得到了三个方向分量的算符的矩阵表达,去掉系数后的矩阵就被称作Pauling矩阵