傅里叶级数与傅里叶积分
傅里叶级数
傅里叶级数和泰勒级数一样,也是用一些简单的函数去逼近其他复杂的函数,只不过,泰勒级数的基底是幂函数,而傅里叶级数的基底是三角函数.
正交基
作为基底的三角函数满足正交性,即在一个周期内任意不同的两个基的积分为0:
\[ \begin{aligned} \int_{0}^{2\pi} \cos nx \cos mx=0 \\ \int_{0}^{2\pi} \cos nx \sin mx=0 \\ \int_{0}^{2\pi} \sin nx \sin mx=0 \end{aligned} \]
这件事是比较显然的,积化和差一下就是两个三角函数在多个周期内的积分和.
根据正交性可以得到傅里叶级数的系数:
\[ f(x)=a_0+\sum_{i=1}^\infty (a_n \cos \frac{n\pi}{L}x +b_n \sin \frac{n\pi}{L}x) \]
其系数为:
\[ \begin{cases} \displaystyle a_0=\frac{1}{2L}\int_{-L}^L f(t)dt, & \\ \displaystyle a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos \frac{n\pi}{L} t dt , &\\ \displaystyle b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\sin \frac{n\pi}{L} t dt\\ \end{cases} \]
狄利克雷定理
一个函数展开的傅里叶级数在连续点收敛于这个函数的充分条件就是狄利克雷定理,他要求函数满足以下三个条件:
- \(f(x)\)在一个周期内只有有限个间断点
- \(f(x)\)是周期函数
- 函数及其一阶导数在周期内分段连续
满足以上三个条件的傅里叶级数就会在连续点处处收敛于该函数,在间断点处收敛于端点值的平均.
奇延拓和偶延拓
对于非周期性的函数,想要用傅里叶级数去表示他,可以先确定我们的研究区间,例如,我们想要在\([0,L]\)区间范围内研究这个函数,然后,我们只希望傅里叶级数可以在\([0,L]\)的区间范围内可以逼近这个函数.
所谓的延拓,就是重新定义一个周期函数,他只在\([0,L]\)上和我们研究的函数一致,然后我们再把这个周期函数展开成为傅里叶级数,就能完成目标:
\[ g(x)=f(x),0<x<L \]
\[ g(x+2nL)=f(x) ,0<x<L \]
对于奇延拓,意思就是在\([-L,0]\)把函数补足成为一个奇函数,反之偶延拓就是把函数补足成为一个偶函数,所以不难得到\(g(x)\)的傅里叶级数:
奇延拓:
\[ g(x)=\sum_{n=1}^\infty C_n \sin \frac{n\pi x}{L} \]
其中系数:
\[ C_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^L g(x) \sin \frac{n\pi x}{L} dx=\frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin \frac{n\pi x}{L} dx \]
所以就得到:
\[ f(x)=\sum_{n=1}^\infty C_n \sin \frac{n\pi x}{L},0<x<L \]
同理也会有偶延拓:
\[ g(x)=D_0+\sum_{n=1}^\infty D_n \cos \frac{n\pi x}{L} \]
系数同理可得.
傅里叶积分
还有一种把傅里叶级数推广到非周期性函数的办法就是认为这个函数的周期无穷大:\(L\to\infty\)
从级数到积分
观察傅里叶级数,然后令\(L\to \infty\):
\[ f(x)=a_0+\sum_{i=1}^\infty (a_n \cos \frac{n\pi}{L}x +b_n \sin \frac{n\pi}{L}x) \]
记\(\omega_n=\frac{n\pi}{L}\),\(d\omega=\frac{\pi}{L}\):
我们规定,被我们展开的这个函数绝对可积,即满足:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|dx <\infty \]
这样,就可以断定傅里叶级数的第一个系数:
\[ a_0=\frac{1}{2L}\int_{-L}^L f(x)dx=0 \]
对于:
\[ a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos \frac{n\pi}{L} t dt =\frac{1}{\pi} \int_{-L}^{L} f(t)\cos \omega_n t dt\Delta{\omega}=A(\omega_n)\Delta \omega \]
\[ b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-L}^{L} f(t)\sin \omega_n t dt\Delta{\omega}=B(\omega_n) \Delta \omega \]
所以原傅里叶级数变为
\[ f(x)=\sum_{n=1}^\infty (A(\omega_n) \cos \omega_n +B(\omega_n) \sin \omega_n )\Delta \omega=\int_0 ^\infty [A(\omega)\cos\omega+B(\omega)\sin\omega]d\omega \]
所以我们就得到傅里叶积分的完整表达形式:
对于一个绝对可积的被积函数\(f(x)\),他存在如下积分展开式:
\[ \begin{cases} \displaystyle f(x)= \int_0 ^\infty [A(\omega)\cos\omega+B(\omega)\sin\omega]d\omega\\ \displaystyle A(\omega)=\frac{1}{\pi} \int_{-L}^{L} f(t)\cos \omega t dt\\ \displaystyle B(\omega)=\frac{1}{\pi} \int_{-L}^{L} f(t)\sin \omega t dt \end{cases} \]
在信号分析中\(A(\omega)\)和\(B(\omega)\)被称作频谱.
傅里叶积分存在的充分条件是绝对可积,傅里叶积分收敛到原函数的充分条件是狄利克雷条件.
应用举例
1
\[ f(x)= \begin{cases} 1, &x\in [-a,a] \\ 0, &\text{otherwise} \end{cases} \]
对上式进行傅里叶积分可以得到一个很经典的积分:
\[ A(\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{-a}^a \cos\omega tdt=\frac{2\sin\omega a}{\pi \omega} \]
显然\(B(\omega)=0\)
所以得到一个积分变换的式子:
\[ f(x)=\int_{0}^\infty \frac{2\sin\omega a \cos \omega x}{\pi \omega} d\omega \]
令\(x=0\)有:
\[ \int_{0}^\infty \frac{\sin\omega a }{ \omega} d\omega=\frac{\pi}{2} \]
2
\[ f(x)=\begin{cases} \cos x, &x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \\ 0, &\text{otherwise} \end{cases} \]
又是奇函数,所以B=0,上式满足绝对可积条件,所以:
\[ A(\omega)=\frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos t\cos \omega t dt=\frac{2}{\pi} \frac{\cos \omega\pi/ 2}{1-\omega^2} \]
所以又得到一个积分变换的式子:
\[ f(x)=\int_0 ^\infty \frac{2}{\pi} \frac{\cos \omega\pi/ 2}{1-\omega^2} \cos \omega x d \omega \]
令\(x=0\):
\[ \int_0 ^\infty \frac{2}{\pi} \frac{\cos \omega\pi/ 2}{1-\omega^2} d \omega=1 \]