级数¶

幂级数¶

复变函数复数项级数的概念不过多介绍,与实数项级数基本一致.

幂级数的形式为:

\[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \]

通常研究的是\(z_0=0\)的情况

Abel定理¶

如果幂级数\(\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\)在\(z=z_0\)处收敛,则对于满足\(|z|<|z_0|\)的所有\(z\),该幂级数绝对收敛.

反之,如果幂级数\(\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\)在\(z=z_0\)处发散,则对于满足\(|z|>|z_0|\)的所有\(z\),该幂级数发散.

这个结论可以通过比较判别法来进行证明,考虑\(|z|<|z_0|\)的情况:

\[ \sum_{n=0}^\infty |a_nz^n| = \sum_{n=0}^\infty |a_n||z|^n=\sum_{n=0}^\infty |a_n||z_0|^n\cdot\left(\frac{|z|}{|z_0|}\right)^n<M\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{|z|}{|z_0|}\right)^n=\frac{M}{1-\frac{|z|}{|z_0|}} \]

得到该级数绝对收敛.

幂级数的收敛半径¶

由此可以引入幂级数的收敛半径的概念,如果存在一个半径\(R\geq 0\),当\(|z|<R\)的时候,幂级数绝对收敛,当\(|z|>R\)的时候,幂级数发散,那么这个\(R\)就被称作幂级数的收敛半径.(注意,我们这里没有对\(R\)上的点的收敛行为作出任何的约束,事实上,这些点有可能收敛也有可能发散).

收敛半径的计算可以参照实数级数的方法进行,主要是有两种:

如果幂级数\(\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\)的系数满足\(a_n=a\cdot r_n\),那么它的收敛半径\(R\)满足:

\[ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}|\frac{c_n}{c_{n+1}}|=R \\ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{|c_n|}}=R \end{aligned} \]

和函数的解析性¶

如果说,幂级数在其收敛圆盘内收敛于和函数\(f(z)\),那么根据幂级数的性质,其在收敛圆盘内每一点都无穷可导:

\[ f^{(n)}(z)=n!c_n+(n+1)!c_{n+1}z+... \]

由此可以得到,幂级数在收敛圆盘内的任意一点都解析,从而其在收敛圆盘内可以沿着一条分段光滑的曲线积分,考虑对幂级数进行逐项积分得到:

\[ \int_Cf(z)dz=\sum_{n=0}^\infty c_n\int_Cz^ndz \]

Taylor级数¶

相反,一个在\(z_0\)的邻域内解析的函数可以展开成一个收敛的幂级数,也就是Taylor级数:

设\(f(z)\)在以\(z_0\)为圆心,R为半径的收敛圆盘内解析,那么\(f(z)\)可以展开成幂级数:

\[ f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n \]

其中,系数\(c_n\)满足(Cauchy积分公式):

\[ c_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z-z_0|<\rho}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz \]

证明这个事实可以从等比级数和柯西积分公式下手,考虑位于收敛圆上的一点\(\zeta\):

\[ \frac{1}{\zeta-z}=\frac{1}{\zeta-z_0}\cdot\frac{1}{1-\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}}=\frac{1}{\zeta-z_0}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}\right)^n \]

然后考虑使用柯西积分公式,对\(f(z)\)在\(z_0\)处进行积分:

\[ f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta-z_0|=\rho}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta=\frac{1}{\zeta-z_0}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta-z_0|=\rho}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^n}d\zeta(z-z_0)^n=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2\pi i}\int_{|z-z_0|<\rho}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz(z-z_0)^n \]

这就证明了泰勒定理.根据柯西积分公式,系数\(c_n\)也可以表示为:

\[ c_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} \]

这就完成了和实数泰勒定理的统一.

解析函数零点的孤立性及唯一性定理¶

解析函数零点的孤立性¶

如果说\(f(z)\)在\(z_0\)的某个邻域\(|z-z_0|<\rho\)解析,且\(f(z_0)=0\),且除了\(z_0\)以外,该函数在D内没有其他任何的零点,则称\(z_0\)为\(f(z)\)的孤立零点.

下面我们将证明,不恒为0的解析函数的零点必然是孤立的.

考虑这样一种情况,\(f(z)\)在区域D内解析,并且在D内存在若干两两不相同的零点序列\({z_n}\),并且满足:

\[ \lim_{n \to \infty}z_n=z_0 \]

那么\(f(z)\)在区域D内恒为0.

我们可以考虑用反证法证明这样一个事实,如果说,满足上述定理,那么\(f(z)\)在\(z_0\)处的泰勒级数的系数必定全部为0,反之,必定存在某些系数不为0,不妨假设\(c_1,c_2, \ldots c_{k-1}= 0\),那么泰勒级数为:

\[ f(z)=c_k(z-z_0)^k+c_{k+1}(z-z_0)^{k+1}+...=(z-z_0)^k(c_k+c_{k+1}(z-z_0)+...)=(z-z_0)^k\psi(z) \]

注意到\(\psi(z_0)=c_k\neq 0\),根据复变函数的解析性质得到他连续,根据连续性得到存在一个邻域\(D(z_0,\delta)\)使得\(\psi(z)\)恒不为0,那么就得到,在这个邻域内,\(f(z)\)恒不等于0,即不可能有趋向于\(z_0\)的零点序列,即假设不成立,\(f(z)\)在该区域内必须恒为0.

这就较为显然的得到,\(z_0\)一定是一个孤立零点.

解析函数的唯一性¶

构造一个函数\(G(z)=f(z)-g(z)\),这几个函数在区域D内都解析,由于\(G(z)\)的零点是孤立的,如果\(f(z)\)和\(g(z)\)在区域D内有两个及以上的点相等,那么他们就恒相等,这说明了解析函数一个非常强的特性,局部就能够代表整体.

洛朗级数¶

双边级数¶

我们把形如:

\[ \sum_{n=-\infty}^\infty c_n(z-z_0)^n=\sum_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n+\sum_{n=1}^\infty c_{-n}(z-z_0)^{-n} \]

的级数称之为双边级数,其可以分为两个部分,即幂级数部分和负幂部分,我们来分别讨论他的收敛性:

首先对于幂级数,我们不妨设其收敛半径为\(R_2\),即只要在区域\(|z-z_0|<R_2\)内,幂级数收敛,那么对于负幂级数,考虑做一个代换:

\[ \zeta=\frac{1}{z-z_0} \]

那么,负幂级数就变为了:

\[ \sum_{n=1}^\infty c_{-n}\zeta^{n} \]

是一个幂级数,记其收敛半径为\(R\),那么,当\(|z-z_0|<\frac{1}{R}\)时,负幂级数收敛,将\(\frac{1}{R}\)记作\(R_1\),即只有当\(|z-z_0|>{R_1}\)时,负幂级数收敛,那么,当\(R_1<|z-z_0|<R_2\)时,双边级数同时收敛.

这只有当\(R_1<R_2\)时才成立,否则,双边级数在整个复数域上都不收敛.

洛朗定理¶

既然双边级数在圆环区域内会收敛,那么我们不加证明的给出,一个解析函数可以在圆环内展开成为双边级数,也被成为洛朗级数:

考虑一个在区域\(r<|z-z_0|<R\)内解析的函数\(f(z)\):

\[ f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n(z-z_0)^n \]

其中,系数\(c_n\)满足:

\[ c_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z-z_0|=\rho}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz\quad (r<\rho<R) \]